Makalah Distribusi

 

                                                   

 MOCHAMAD RIANSYAH

( 26114702 )

2KB07

UNIVERSITAS GUNADARMA

2015-2016

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan rahmat dan karunia-Nya saya dapat menyelesaikan makalah tentang Distribusi Probabilitas, saya harap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengetahui tentang materi ini. Saya juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, saya berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah saya buat di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun. Semoga makalah ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya laporan yang telah disusun ini dapat berguna bagi saya sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya saya mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan saya memohon kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi perbaikan makalah ini di waktu yang akan datang.

Tangerang Selatan, 24 Desember 2015

    

                                                                                                                       

                                                                                                           

                                                                                                      Penyusun

DAFTAR ISI

BAB  I………………………………………………………………………………….................... 4

PENDAHULUAN……………………………………………………………………….. …..........4

1.1  Latar Belakang…………………………………………………………………………………..4

1.2  Rumusan Masalah……………………………………………………………………………….4

1.3  Tujuan Penulisan……………………………………………………………………………….. 4

BAB II……………………………………………………………………………………………….5

PEMBAHASAN…………………………………………………………………………………….5

Pengertian Distribusi Peluang Kontinu…………………………………………………...................5

Beberapa Distribusi Peluang Kontinu……………………………………………………………….5

Pengertian Distribusi Probabilitas………………………………………………………...................8

Distribusi Probabilitas Diskrit……………………………………………………………………….8

Distribusi Probabilitas Kontinu…………………………………………………………………….11

BAB III…………………………………………………………………………………………….12

PENUTUP…………………………………………………………………………………………12

KESIMPULAN…………………………………………………………………………………....12     

BAB IV……………………………………………………………………………………………..13

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………………………...13

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

       Di kehidupan sehari-hari kerap kali ditemui berbagai macam model peluang. Faktor ketidakpastian banyak memiliki model peluang yang menggambarkan suatu akibat yang mungkin terjadi seandainya kondisi – kondisi tertentu terjadi. Distribusi peluang atau peluang teoritis merupakan suatu model peluang yang memungkinkan untuk mempelajari hasil eksperimen random yang riil dan menduga hasil – hasil yang akan terjadi. Distribusi peluang yang demikian merupakan distribusi populasi karena berhubungan dengan semua nilai – nilai yang mungkin terjadi dan populasinya merupakan variabel random. Berdasarkan jenis variabelnya tergolong atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu. Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang contoh yang mengandung jumlah titik contoh yang terhingga sedangkan distribusi peluang kontinu adalah suatu ruang contoh mengandung tidak terhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis. Distribusi peluang diskrit dibagi atas berbagai macam diantaranya adalah distribusi peluang binomial, distribusi peluang hipergeometrik, distribusi peluang poisson, distribusi peluang geometrik, dan distribusi peluang binomial negatif. Sedangkan, distribusi peluang kontinu dibagi atas distribusi peluang normal, distribusi peluang gamma, distribusi peluang eksponensial, distribusi peluang chi-square. Metode yang digunakan dalam praktikum ini adalah untuk mengetahui variabel acak masing – masing distribusi dengan menggunakan software Minitab dengan membangkitkan 500 data dan melakukan survei terhadap sepeda motor yang masuk dalam tempat parkir dalam kurun waktu 2 hari selama 1 jam setiap 2 menit pada pagi, siang, malam. Dalam penyajian data, menggunakan diagram histogram untuk memudahkan penyajian.

1.2  Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, penyusun merumuskan rumusan masalah sebagai berikut.

- Apa pengertian Distribusi probabilitas kontinu dan diskrit?

      - Apa konsep dan teorema distribusi?

      - Apa perbedaan distribusi kontinu dan diskrit?

1.3 Tujuan Penulisan

       Dari rumusan masalah diatas, dapat diketahui bahwa tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

       - Untuk mengetahui distribusi probabilitas kontinu dan diskrit.

       - Untuk mengetahui perbedaan distribusi diskrit dan kontinu.

       - Untuk mengetahui konsep dan teorema distribusi.

 

BAB II

PEMBAHASAN

      

Pengertian Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:

1. F(x) ≥ 0 untuk semua x є R

2. ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=1∞∞

3. 𝑃(𝑎<𝑋<𝑏)= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Beberapa distribusi peluang kontinu :

•          Distribusi seragam kontinu

•          Distribusi normal

•          Distribusi gamma

•          Distribusi Weibull

Definisi 1:

            Bila peubah acak X berdistribusi seragam kontinu bila fungsi padatnya berbentuk

 

  Untuk                        dan bernilai nol untuk x yang lainnya

Rataan dan distribusi seragam kontinu adalah

 

                                  Dan  

•          Suatu peubah acak X berdistribusi seragam kontinu dengan a=2 dan β=7. Carilah P(3<x<5,5) 

Jawab :

 

Distribusi normal

Definisi 2:

            Fungsi pada peubah acak normal X dengan rataan µ dan variansi σ² adalah

 

Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian sehingga luas dibawah kurva diantara kedua ordinat x=x₁ dan x=x₂ sama dengan peluang peubah acak x mendapa nilai x=x₁ dan x=x₂, Jadi

•          Dengan transformasi

•          Jadi bila X bernilai antara x=x₁ dan x=x₂ maka peubah acak Z akan bernilai antara

                              dan

Karena itu

                                  

•          Diketahui suatu distribusi normal dengan µ =50 dan σ=10, carilah peluang bahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62.

Jawab

    Nilai z yang berpadanan dengan  x₁ = 45 dan x₂ = 62 adalah

                                             dan           

Jadi

               

•          Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam an simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam

Jawab

    Nilai z yang berpadanan dengan  x₁ = 778 dan x₂ = 834 adalah

                                                 Dan        

Jadi             

Distribusi gamma

Definisi 3:

            Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter a>0 dan β>0, bila fungsi padatan berbentuk

untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.

Rataan dan variansi distribusi gamma adalah

                                      dan

Catatan: Bila a=n, n bil bulat positif maka Γ(n) = (n-1)!

Contoh

•          Bila peubah acak X berdistribusi gamma dengan a=2 dan β=1, hitunglah P(1,8<x<2,4)

Jawab

 

Distribusi Weibull

Definisi 4:

            Peubah acak kontinu X berdistribusi Weibull dengan parameter a dan β, bila fungsi padatan berbentuk

untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.

Rataan dan variansi distribusi Weibull adalah

                                 

                                       Dan 

Distribusi Probabilitas :

¨  Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)

Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) :

¨  Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

            -   P(X = x) = f(x)

             -

             -

Distribusi Probabilitas Diskrit X (2) :

¨  Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) :

¨  Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X.

¨  Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

 

     Contoh:

—  Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,

—  Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.

—  Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.

—  Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28

—  Hitung nilai rata-rata X.

     

Jawab (1):

¨     Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :

¨  X         = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli                            oleh sekolah

                        = 0, 1, 2

¨  Sehingga dapat dihitung :

 

      

                                                                                   

          

Rumus distribusi probabilitas adalah                    

—  Jadi,  distribusi probabilitas dari X adalah 

x	0	1	2
f(x)	10/28	15/28	3/28

     Jawab (2):

—             Distribusi kumulatif F(x) adalah :

F(0)                 = f(0)    = 10/28

F(1)                 = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28

F(2)                 = f(0) + f(1) + f(2)  = 10/28 + 15/28 + 3/28

         = 1

Sehingga :

                        1          , untuk x < 0

F(x) =               10/28   , untuk 0 £ x < 1

                                    25/28   , untuk 1 £ x < 2

                                    1          , untuk x ³ 2

   Jawab (3):

—       Dengan menggunakan F(x), maka

                        f(2)      = F(2) – F(1)

                                    = 1 – 25/28

                                    = 3/28

—  Nilai Ekspektasi X adalah

                 E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2)

                         = (0). (10/28) + (1). (15/28) +

                                    (2). (3/28)

                           = 21/28

Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):

¨ Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

¨  

 

Distribusi Probabilitas Kontinu X (2):

¨  Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

 

    

 

      Distribusi Probabilitas Kontinu X (3):

—              Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X.

—  Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

 

         Contoh:

—              Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 £ x £ 4

◦       Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f sama dengan 1.

◦       Hitunglah P(1,5 < x < 3)

◦       Hitunglah P( x < 2,5)

◦       Hitunglah P(x ³ 3,0)

◦       Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x < 2,5)

◦       Hitung nilai E(X)

BAB III

PENUTUP

1.1  Kesimpulan

Berdasar kan  makalah di atas distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu.

Beberapa distribusi peluang kontinu :

•          Distribusi seragam kontinu

•          Distribusi normal

•          Distribusi gamma

•          Distribusi Weibull

Dari masing-masing distribusi peluang kontinu mempunyai pengertian yang berbeda dan rumus berbeda pula.

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

http://www.statistikdasar.com/files/materi/konsep_distribusi_peluang_kontinu.pdf

http://nining.dosen.narotama.ac.id/files/2011/04/Materi-ke-6-distribusi-probabilitas-sept-2010.ppt.